Ang Lohika ng Matematika at Matematika ng Lohika

Ang Lohika ng Matematika at Matematika ng Lohika
(Higit pa sa Paghahanap ng x at y)

            Ang Matematika ay isang sangay ng karunungan na kinikilala bilang "lakambini ng mga agham", ayon kay Gauss; "...sining ng mga abstraktong katotohanan", at "susi sa sikreto ng kalawakan", ayon sa mga pythagoreans. Kung ang mga makabagong pilosopo ang tatanungin, ang matematika ay ang "agham ng mga istruktura" at wala nang higit pa. Ang mga istrukturang tinutukoy ay mga numero, koleksyon, hugis, argumento, at operasyon.

I.  Ang Tradisyunal na Imahe ng Matematika

            Ang deskripsiyong ito ay nagpapakita na ang matematika ay hindi na hihigit pa sa pagsagot sa mga tanong sa pagsusulit o paghahanap ng nawawalang value ng x sa:

(a)                 ax² + bx + c = 0

gamit ang tanyag na quadratic formula:                                                                                                            
                            (b)          x = (-b±√(b^2-4ac))/2a  kung saan ang  a,  b, c ay hindi 0.

            Pamilyar ang operasyong ito sa lahat ng estudyante na nakapagtapos ng sekondarya at mga kasalukuyang nasa kolehiyo.  At ito ang tumatatak na imahe ng matematika sa karamihan. Ngunit ang imaheng ito ay may napakalaking pagkukulang at hindi nagbibigay hustisya sa isang libong taon ng pagsasaliksik at pagtatagumpay ng mga matematiko. Mahalagang bahagi ng matematika ang tradisyunal nitong imahe, tulad ng aritmetika, geometry, algebra, at calculus, ngunit pansamantala nating iiwan ang mga ito upang tuklasin ibang dimensyon ng karakter ng agham na ito.

II. Matematika at Lohika

          Ang pinakamahusay na depinisyon ng sining at agham ng Matematika ay nagmula sa matematiko at pilosopong si Bertrand Russell. Ayon sa kanya "ang lohika ay ang kabataan ng matematika, at ang matematika ay ang pagbibinata ng lohika." 

          Ang lohika ay kinikilala bilang "agham ng tamang pag-iisip", "sining ng tamang pangangatwiran", at bilang sangay ng pilosopiya na sumusuri sa mga konsepto, proposisyon, at mga relasyon nito sa isa't-isa. Nag-umpisa ang lohika sa Gresya, sa pagsusumikap narin ni Aristotle, upang magkaroon ng gabay sa tamang pangangatwiran at upang maiwasan ang pagpapaikot-ikot ng mga salita na kadalasang ginagawa ng mga pulitiko, at mga sopista. Matapos lumawak ng Emperyong Romano, pinag-aralan nila ang lohika at ginamit nila ito sa kanilang mga Korte at sa Senado.Noong panahong midyebal ay ginamit ni St. Aquinas ang lohika upang maglahad ng mga "patunay" sa eksistensya ng Dios. Sa sumunod na mga dantaon ay ginamit lamang sa pilosopiya ang lohika.

         Noong 1800's ay lumitaw ang isang aklat na pinamagatang "The Laws of Thought" na isinulat ni George Boole, isang matematiko at lohiko na nagsalin sa mga panuntunan ng lohika patungo sa simbolikong wika ng matematika. Dito na nagsimula ang paglawak ng daigdig ng matematika at lohika.

          Ginamit ni Boole ang matematika upang maging mas maikli ang mga relasyong lohikal na susuriin. Imbes na isulat ng buo ang mga proposisyon ay gumagamit na lamang ng mga letra kapalit nito, at imbes na mga pangatnig, pandiwa, at parirala ay gumagamit na lamang ng mga simbolo ng operasyon, katulad ng aritmetika kung saan imbes na sabihing "dagdagan ang isa ng isa" ay isinusulat na lamang ang "1 + 1." Sa susunod na bahagi ay makikita kung ano ang mga simbolong operasyon sa lohika at kung paano sila ginagamit.

         Ang lohika ay ginagamit ng mga matematiko upang patunayan na tama ang kanilang mga derivations ng formula, tulad na lamang ng halimbawa sa itaas. Upang mapatunayan na masasagot ang tanong sa (a) gamit ang formula sa (b) kailangan natin gumamit ng lohika. Ang prosesong iyon ay ang pagsusulat ng "proof'', na iba sa katumbas na salita nito sa Filipino na patunay. Ang proof ay isang sistematikong pangangatwiran na nagpapakita ng relasyon ng bawat proposisyon sa isa't-isa. Isang halimbawa nito ay ang inperensya na ipapaliwanag sa ibaba.

        Sa umpisa ay masasabing ginagamit ng mga lohiko ang matematika upang paikliin ang mga pangungusap sa lohika; at ginagamit naman ang lohika matematiko upang patunayan ang mga teorya nila sa matematika. Sa huli, sa kabila ng katotohanang inaakala natin na ang lohika ay para lamang sa pagsusuri ng wika, at ang matematika ay para lamang sa pagsusuri ng bilang at iba pang istruktura, ay mahihinuha na ang lohika at matematika ay iisa lamang, gaya ng sinabi ng Bertrand Russel.

III. Isang Sulyap sa Lohika

            Upang maunawaan ang kung paano gumagana ang isang proof o lohikal-na-patunay, magbalik-tanaw tayo sa mga natutunan natin sa lohika:

                    (c)                  Premis 1:                 ‘Ang lahat ng aso ay hayop”

                                          Premis 2:                    ‘Ang mga askal ay aso”    

                                          Kongklusyon:        "Ang lahat ng askal ay hayop"

Ang halimbawang ito ay isang inperensya. Kung saan ang relasyon ng isang proposisyon sa isa pang proposisyon ay sumusunod sa mga batas ng lohika ng inperensya, at nagreresulta sa isang kongklusyon.

Ang isang proposisyon ay isang pangungusap na naglalaman ng mensahe, ideya, o impormasyon na maaaring patunayan na tama o mali. Ang mga tanong ay hindi proposisyon.

Bilang halimbawa:

1)      “Ang buwan ay isang lollipop.”

2)      “Napakahirap ng matematika.”

3)      “1 + 1 = 2.”

4)      “Mahal mo ba ako?”

5)      “Kung ax² + bx + c = 0, at a=2, b=15, c= 30, ano ang x?”

            Ang (1) ay isang proposisyon dahil ito ay isang pangungusap, ngunit isa itong maling proposisyon; Ang (2) naman ay isang pangungusap ngunit hindi ito maituturing na proposisyon dahil hindi eksaktong tama o mali ang ideyang ipinapahayag nito, may mga sasang-ayon at may mga tututol; Ang (3) ay isang matematikal na pangungusap at ito ay totoo, kung gayon isa itong proposisyon; Ang (4) ay hindi proposisyon dahil isa itong tanong at walang tama o maling impormasyon sa mga tanong. Ang (5) ay isang matematikal na pangungusap, ngunit dahil hindi natin alam ang value ng x hindi natin masasabi kung ito ay tama o mali, samakatuwid maituturing ito na isang tanong, at hindi ito isang proposisyon.

IV. Matematikal na Lohika

             
            Ang matematikal na lohika ay nag-uumpisa sa pagsasa-simbolo ng mga lohikal na relasyon. Imbes na gamitin natin ang linya ng pangangatwiran sa (c) na naglalaman ng masyadong maraming salita at maaring pagmulan ng kalituhan, ay mas mainam na isa-simbolo ang mga proposisyon bago analisahin. 
            
           Ang mga proposisyon ay may relasyon sa isa’t-isa batay sa kung tama o mali ang isang proposisyon kumpara sa isa pa. Ito ay ang tinatawag na truth value. Ang mga proposisyon ay may iisang truth value lamang at ito ay tama  o  1, at mali o 0. Batay sa truth value ng bawat proposisyon ay makakabuo tayo ng lohikal na relasyon sa pagitan nila.

            Upang maging mas madali ang pag-aaral natin ng mga proposisyon, gumamit tayo ng mga notasyon.  Ang mga letrang x, y, at z, ay ipapalit natin sa mga proposisyon. Imbes na gumamit tayo ng mga pangungusap, ang mga letra na lamang ang titingnan natin. Ang mga relasyon ng mga proposisyon sa isa’t-isa ay tinatawag na operasyon. Katumbas ng operasyong +, -, ×, at ÷ sa aritmetika, sa lohika naman ay ginagamit ang mga operasyong ¬,∧, ∨, ⊕, →, ⟺ at ang katumbas ng = sa lohika ay ang ≡.

Ang sumusunod ay ang tamang paggamit sa mga operasyong ito.

1.      Ang operasyong “Hindi” (¬)

Ang ginagawa ng operasyong ito ay ipinapakita ang kabaliktaran ng truth value ng isang proposisyon. Kung tama ang proposisyon at nilagyan ito ng simbolo ng hindi ay magiging mali ito, gayun din ang proposisyong mali, kapag nilagyan ng hindi ay magiging tama ang truth value ng proposisyon.

Sa notasyon:

                              p  = proposisyong p

                                                   ¬ p = proposisyong hindi p

Ang truth function nito ay:

                 

p	¬ p
T	M
M	T

Kung saan ang T ay tama, at ang M ay mali.

Halimbawa:

proposisyon p:    “ Ang Matematika ay mahirap.”

                                            
                proposisyon ¬ p:    “ Hindi (Ang Matematika ay mahirap.)”,

                                             o “Ang Matematika ay hindi mahirap.”

2.      Ang Operasyong “At” (∧)

            Ang “At” sa wikang Filipino ay pangatnig, katumbas ng conjunction na “And” sa wikang ingles. Ito ay nangangahulugan ng pagkakasama ng dalawang bagay sa iisang aksyon, o pagkakaroon nila ng iisang pang-uri na tumutukoy sa mga ito. Ngunit sa matematikal na lohika ang at ay nagpapakita ng relasyon sa pagitan ng dalawang proposisyon kung saan ang relasyon ay tama kung pareho ang truth value ng nasabing proposisyon. Sa medaling sabi, kung parehong tama, o prehong mali ang mga proposisyon, tama rin ang relasyon. Ang relasyong ito ay ipinapakilala ng truth table, o ang relasyon ng mga truth value ng bawat isa.

Ito ay ipinakikita ng notasyong:  p ∧ q  na binabasang “p at q” at may truth table na:

p	q	p  ∧  q
T	T	T
T	M	M
M	T	M
M	M	T

na nagpapakitang kung tama ang p at tama ang q ay tama din ang relasyong “p at q”. At kung mali ang p at tama ang q, o kung tama ang p at mali ang q, ay magiging mali din ang relasyong p at q.  At kung parehong mali ang p at q ay tama naman ang relasyong p at q.

Halimbawa:

  (p ∧ q ):  “Ang pangulo ay si Benigno Aquino at ang pangalawang pangulo ay si Jejomar Binay.”

              p:     “Ang pangulo ay si Benigno Aquino.”

              q:      “Ang pangalawang pangulo ay si Jejomar Binay.”

Dahil tama ang p, at tama din ang q, nangangahulugang tama ang p ∧ q.

3.       Ang operasyong “O”  (p ∨ q)

            Ang o, na sa ingles ay or, ay isang pangatning na nagpapakita ng pagpipilian sa pagitan ng dalawang alternatibo. Ngunit sa lohika ay “o” ay nagpapakita ng relasyong tama kung tama pareho ang dalawang proposisyon, o kung tama ang ang ikalawang proposisyon.

Tingnan ang sumusunod na truth table:

p	q	p ∨ q
T	T	T
T	M	T
M	T	T
M	M	M

Mapapansin na tama ang nasabing relasyon basta’t may isang tama sa dalawang proposisyon, o kung parehong tama ang dalawang ito; ngunit mali naman kung parehong mali ang dalawang proposisyon. 

Halimbawa:
p ∨ q:  " Sa darating na eleksyon ang magiging manok ng partido liberal ay si Grace Poe o si Mar Roxas."
p:           "Sa darating na eleksyon ang magiging manok ng partido liberal ay si Grace Poe."
q:           "Sa darating na eleksyon ang magiging manok ng partido liberal ay si Mar Roxas."

Sa halimbawang ito, ang p ∨ q ay magiging tama kung isa sa  kanilang dalawa ang maging pambato ng Partido Liberal. O kung pareho silang naging pambato (dahil hindi naman sinabing sa pagkapangulo ang posisyon). Ngunit mali naman ang truth value nito kung parehong hindi sila napili.

4.    Ang operasyong "eksklusibong O" (p⊕q)

             Ang "eksklusibong O" ay isang lohikal na operasyon na katumbas ng pangatnig na o sa Filipino at conjunction na or sa Ingles. Kumpara sa naunag operasyong "o"  kung saan tama ang relasyong (p ∨ q) basta may isang tama sa p at q, o pareho itong tama. Samantalang sa eksklusibong o, tama lamang ang relasyong (p⊕q) kung tama ang p at mali ang q, o kung tama ang q at mali ang p. Samakatuwid, mali ito kapag parehong tama ang p at q, o kung pareho itong mali.

p	q	p⊕ q
T	T	M
T	M	T
M	T	T
M	M	M

Halimbawa:

p⊕q:    " Ang x = 0 o kaya ang x < 0."

p:         " Ang x ay 0."
q:         " Ang x ay mas mababa pa sa 0.''

           Makikitang madali maunawaan ang eksklusibong o dahil katulad ng o sa karaniwang wika, ang x ay dapat na equal sa zero o kaya mas mababa sa zero. Hindi maaring pareho itong 0 at mababa sa 0 dahil hindi ito pwedeng magkaroon ng higit sa iisang value.  Maari ding ganito, sa eleksyon may dalawang kandidatong sina Mr. X partidong dilaw at Mr. Y ng partidong kahel. Dahil dalawa lang ang partido ang eleksyon ay balido lamang kapag isa sa kanilang dalawa ang nanalo at ang isa ay natalo. Imbalido ito kung pareho silang nanalo o pareho silang natalo. Ang p ay si Mr X, ang q ay si Mr Y, at ang eleksyon ay ang relasyong p⊕q.

5.      Ang Implikasyon (p → q) 
    
          Ang implikasyon ay isang lohikal na operasyon na nagpapakita na ang p (antecedent) ay nagdudulot o nagbubunga ng q (consequent). Ang relasyong p → q ay tama sa lahat ng truth values maliban na lamang kung mali ang q. 

Suriin ang truth table na ito:

p	q	p → q
T	T	T
T	M	M
M	T	T
M	M	T

Upang maunawaan ito isipin na lamang na ang isang tagapag-sanay sa basketball ng isang team ay nangako sa kanila na manlilibre ito  kapag sila ay nanalo sa laban. Kung nanalo sila at inilibre sila ng coach ay naging tama ang implikasyon; kung hindi sila nanalo at di sila inilibre ay totoo parin ang implikasyon; Mali naman ito kung nanalo sila ngunit di sila inilibre ng kanilang coach. Ngunit paano kung natalo sila pero inilibre sila ng coach? Ang implikasyon ay tama parin dahil ang panlilibre ay isang consequent, o sa madaling sabi resulta ng p. Ipinangako ng coach ang panlilibre kung mananalo sila, ngunit hindi ito nangangahulugan na obligado ang coach na hindimanlibre kung hindi sila manalo.

Bukod dito ay may apat pang mga relasyon na mabubuo mula dito: Iyon ay ang inverse, converse, contrapositive at biconditional.

A.) Ang operasyong Contrapositive (¬q → ¬p) ay nagaganap kung ang "hindi q" ay may implikasyon sa "hindi p" na katumbas naman ng "implikasyon ng hindi p at hindi q". Kung susuriin ang sinasabi lamang nito ay kung hindi totoo ang q, ang implikasyon nito ay hindi totoo ang p. 

¬p	¬q	¬q → ¬p
M	M	T
M	T	T
T	M	M
T	T	T

Ngunit kung mapapansin iyun din ang sinasabi ng p → q.  Ito ay dahil ang implikasyon at ang contrapositive ay magkatumbas, o sa matematikal na wika:  p → q ≡ ¬q → ¬p.

B) Ang relasyong inverse (¬p→¬q) ay kabaliktaran ng implikasyon. 

p	q	¬p →¬q
T	T	M
T	M	T
M	T	M
M	M	M

Sa matematikal na wika: p → q ≡ ¬(¬p →¬q). 

C) Ang relasyong converse q → p naman ay isang sitwasyon kung saan kung totoo ang q ay nangangahulugang totoo din ang p. Ibig sabihin nakadepende ang implikasyon sa q imbes na sa p.

p	q	q → p
T	T	T
T	M	T
M	T	M
M	M	T

Pansining hindi ito katumbas ng orihinal na implikasyon. Isa pang relasyon ay ang bi-conditional, na sa sobrang halaga sa lohika at matematika ay ginawan ito ng sarili nitong notasyon.

6.  Ang pangungusap na Bi-conditional p⟺q ay isang pangungusap o operasyon kung saan ang bawat proposisyon ay nakadepende  sa isa't-isa. Tama ang operasyong ito kung parehong tama o parehong mali ang proposisyong p at q. 

 Ang truth table ng Bi-conditional:

p	q	p ⟺ q
T	T	T
T	M	M
M	T	M
M	M	T

Kung mapapansin natin ang bi-conditional ay kabaliktaran ng "eksklusibong o". At masasabi ring katumbas ng implikasyon ng dalawang implikasyon, o implikasyon ng  dalawang converse, o kaya naman implikasyon ng dalawang "hindi-inverse". 

7.         Ang Equivalence p ≡ p

            Ang equivalence ay hindi isang operasyon kundi isang relasyon sa pagitan ng isang proposisyon o pangungusap sa isa pang proposisyon o pangungusap kung saan pareho ang katotohanan ng bawat proposisyon na ginamitan ng operasyon, o pareho ng katotohanan ang mga pangungusap.

p	p	p ≡ p
T	T	T
T	T	T

Kung isasalin sa matematikal na wika ang paliwanag sa (6) tungkol sa pagiging magkatumbas ng bi-conditional at ng kabaliktaran ng "eksklusibong o", at ng ibang uri ng implikasyon ang sumusunod na aplikasyon ng equivalence ay makikita natin:

p ⟺ q ≡ ¬(p⊕ q)

                                ≡ ((p → q)→(q → p))) 

                                      ≡  (p → q )→ ¬(¬q →¬p)  

Isang dapat tandaan ay hindi katulad ng equality (=) ang equivalence. Hindi bilang ang ipinapakita nito kundi truth value o katotohanan ng mga proposisyon.

V. Makabagong Matematika

         Ang mga matematiko-lohikal na operasyon na ipinakilala mula sa IV.1 hanggang IV.6 ay mga makapangyarihang kagamitan upang suriin ang mga argumento, gamit ito ay mapapatunayan ng mga matematiko na balido ang kanilang mga teorya, o na tama ang kanilang mga solusyon.

         Isang malawakang kaalaman na sa daigdig ng mga agham at matematika na iisa lang ang lohika at matematika. Na ang matematika ay ginagamit upang paikliin at pahusayin ang pagsusuring lohikal, at na ang lohika ay ginagamit upang makasiguradong tama ang mga matematikal na tuklas, patunay, at mga solusyon.

         Sa unang tingin malayo ito sa matematikang pinag-aaralan sa mga eskwelahan, tulad ng algebra, geometry, at sa kolehiyo naman ay calculus. Ngunit kung magtitiyaga lamang tayo makikita nating iisa lamang ang mga tradisyunal na kilalang matematika at ang inilahad ko dito.

         Ang matematikal na lohika ay isa sa mga pinakamahalagang hakbang tungo sa pagkakalikha ng mga computer at ng mga programming languages na ginagamit upang paganahin ang mga ito. Sa hinaharap ay magagamit ang matematikal na lohika upang paganahin ang AI o artificial intelligence na pawang mga computers at sistemang gumagana at nag-iisip na parang tao.

          Ngunit ang tunay na kaligayahan sa pag-aaral na matematika ay nasa pagkaunawa na ang lahat ng konsepto ay magkakaugnay, at na may mas simple o pundamental pang mga konsepto na kayang magpaliwanag kung bakit gumagana ang mga matematika na ating nalalaman.

          Mas malalim sa matematikal na lohika na dapat pag-aralan ng sinumang seryosong mag-aaral ay ang Set Theory na sumusuri sa mga koleksyon ng mga bagay; Group Theory na syang nag-aaral kung bakit gumagana ang mga operasyon sa matematika; Proof  Theory na nag-aaral kung bakit gumagana at kung ano ang criteria ng tamang patunay sa mga matematikal na pahayag at tuklas; At marami pang iba.

         Ang daigdig ng matematika ay napakalawak, ito ay talagang higit pa sa paghahanap ng x at y! At napakaliit na lupalop lamang ng matematika ang nasuri ko dito. Ngunit ang paglalakbay sa daigdig na ito ay isang landasin na nais kong tahakin, sa kabila ng dami ng balakid, mahihirap na problema, at sa kabila ng katotohanang hindi ako ganun kahusay sa matematika!

~Hindi ito hindi(hindi si hindi-MJ). Pero, Sino?